Dados de Área

Aula 04: Teoria e Prática em R

Alex Monito Nhancololo

Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação (IME‑USP)

26/01/2026

Definição e Conceitos Fundamentais

O que são Dados de Área?

\(\Longrightarrow\) Domínio Discreto (\(D^L\)) vs. Contínuo (\(D^G\))

  • Def.: Processos estocásticos onde o domínio espacial é fixo, discreto e contável (Cressie; Moores, 2022).

  • Unidades: Observações ancoradas em unidades espaciais predefinidas e não sobrepostas (ex: municípios, pixels, zonas censitárias).

  • Incerteza: Reside no atributo \(Y(\mathbf{s}_i)\), pois a localização \(\mathbf{s}_i\) é fixa.

  • Vetor de observações: \(\mathbf{y} = (y_1, \dots, y_n)^\top\).

  • Dependência: Governada pela topologia/vizinhança, não necessariamente pela distância euclidiana contínua (Besag, 1974).

Estruturas de Vizinhança (\(\mathbf{W}\))

Matriz \(\mathbf{W}\)

\(\Longrightarrow\) Quantificando a conexão espacial

\[ \mathbf{W}_{n \times n} = \begin{bmatrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n} \\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nn} \end{bmatrix} \]

  • \(w_{ij}\): Conexão entre \(j\) e \(i\).

  • Convenção: \(w_{ii} = 0\) (sem auto-conexão) (Anselin, 2001).

  • Feedback Espacial: Diferente de séries temporais, a dependência é multidirecional (\(i \leftrightarrow j \leftrightarrow k\)).

Critério de vizinhança

(a) Queen
(b) Rook
Figura 1: Vizinhança por contiguidade
(a) k-NN
(b) Distância fixa (limia)
(c) Decaimento por distância
Figura 2: Vizinhança por distância de separação
Figura 3: Vizinhança Econômica/Funcional: O Agronegócio conectando Sorriso-MT aos Portos.

Nota: Relaia o conteúdo da aula 01, parte de vizinhança

Matriz de Pesos e Normalização

\(\Longrightarrow\) Por que transformar a matriz binária?

  • A matriz \(\mathbf{W}\) binária (0 ou 1) reflete apenas a existência de conexão.

  • A escolha dos pesos deve ser teórica e definida a priori (Kelejian; Piras, 2017).

  • Em modelos espaciais, a matriz \(( \mathbf{I} - \rho \mathbf{W} )\) precisa ser invertível.

  • Sem normalização, autovalores (\(\lambda\)) explodem, dificultando a estimação de \(\rho\) e a interpretação numérica.

Tipos de Normalização

\[w_{ij}^{r} = \frac{w_{ij}}{\sum_{j=1}^n w_{ij}}\]

\[ \small \mathbf{W} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \mathbf{W}^{r} = \begin{bmatrix} 0 & 0.5 & 0.5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

\[w_{ij}^{c} = \frac{w_{ij}}{\sum_{i=1}^n w_{ij}}\]

\[ \small \mathbf{W} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \mathbf{W}^{c} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

\[\mathbf{W}^{spectral} = \frac{\mathbf{W}^0}{\lambda_{max}}\]

Análise Exploratória de Dados Espaciais (ESDA)

O que é ESDA?

Segundo Anselin (1995), é um conjunto de técnicas para:

  • Descrever e visualizar distribuições espaciais.

  • Identificar atípicos (spatial outliers).

  • Detectar padrões de associação (clusters).

  • Sugerir regimes de heterogeneidade espacial.

O objetivo é quantificar a dependência definida por \(\mathbf{W}\).

Estatísticas globais de autocorrelação

\(\Longrightarrow\) Da correlação à autocorrelação

\(\Longrightarrow\) Associação linear entre duas variáveis distintas (\(X\) e \(Y\)).

\[ r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}} \]

  • Como \(X\) varia em relação a \(Y\) na mesma unidade \(i\).

  • Assume-se que os pares \((x_i, y_i)\) são independentes entre si (i.i.d).

\(\Longrightarrow\) Associação linear de uma variável (\(Y\)) com ela mesma no espaço.

  • Na estatística espacial, não temos um \(X\) e um \(Y\) distintos. Temos apenas \(Y\) em locais diferentes.

  • Para medir a correlação de \(Y\) consigo mesma, substituímos a segunda variável (\(X\)) pela média ponderada dos vizinhos (Defasagem Espacial ou Spatial Lag).

\[ \text{Pearson: } \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \quad \xrightarrow{\text{Espacial}} \quad \text{Moran: } \sum_{i} \sum_{j} w_{ij} (y_i - \bar{y})(y_j - \bar{y}) \]

  • Significa “si mesmo”.

  • É a correlação da variável \(Y_i\) com a variável \(Y_j\) (onde \(j\) são os vizinhos de \(i\) definidos pela matriz \(\mathbf{W}\)).

  • Se o valor em \(i\) é alto e a média dos vizinhos \(j\) também é alta, temos autocorrelação positiva.

Mensuração da dependência espacial

\[ I = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij}} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij} (y_i - \bar{y})(y_j - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}, \: \: \mathbf{W} = [w_{ij}]_{n\times n} \]

Interpretação

\(I > E[I], E[I]= -1/(n-1)\): Autocorrelação Positiva (agrupamento).

\(I < E[I]\): Autocorrelação Negativa (dispersão/xadrez).

\(I \approx E[I]\): Aleatoriedade.


    Moran I test under randomisation

data:  mg_sf$indicador  
weights: lw    

Moran I statistic standard deviate = 29.13, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: greater
sample estimates:
Moran I statistic       Expectation          Variance 
     0.6193722870     -0.0011737089      0.0004537973 

    Monte-Carlo simulation of Moran I

data:  mg_sf$indicador 
weights: lw  
number of simulations + 1: 1000 

statistic = 0.61937, observed rank = 1000, p-value = 0.001
alternative hypothesis: greater

Foca na dissimilaridade quadrática entre vizinhos (similar ao variograma).

\[ c = \frac{(n-1)}{2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij}} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij} (y_i - y_j)^2}{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2} \]

Interpretação

\(0 < c < 1\): Autocorrelação Positiva (vizinhos similares).

\(c > 1\): Autocorrelação Negativa (vizinhos dissimilares).

\(c = 1\): Aleatoriedade.


    Geary C test under randomisation

data:  mg_sf$indicador 
weights: lw   

Geary C statistic standard deviate = 26.149, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: Expectation greater than statistic
sample estimates:
Geary C statistic       Expectation          Variance 
      0.377124962       1.000000000       0.000567393 

    Monte-Carlo simulation of Geary C

data:  mg_sf$indicador 
weights: lw  
number of simulations + 1: 1000 

statistic = 0.37712, observed rank = 1, p-value = 0.001
alternative hypothesis: greater
(a) Variável Original
(b) Dissimilaridade Local (Geary)
Figura 4: Índice C de Geary

Estatísticas Locais

Decomposição da Dependência

\(\Longrightarrow\) Local Indicators of Spatial Association (LISA)

A dependência espacial raramente é estacionária (igual em todo o mapa). Segundo Anselin (1995), os indicadores locais (\(I_i\)) devem satisfazer duas propriedades:

  1. Avaliar se o padrão em torno da unidade \(i\) é aleatório ou estruturado.

  2. A soma dos indicadores locais é proporcional à estatística global (\(\sum_i I_i \propto I\)).

Índice de Moran Local (\(I_i\))

Avalia a correlação entre o valor local (\(s_i\)) e a média dos vizinhos (\(Ws_i\)).

\[ I_i = \frac{(y_i - \bar{y})}{S^2} \cdot \sum_{j=1}^n w_{ij} (y_j - \bar{y}) \]

Onde \(S^2\) é a variância amostral.

\(\Longrightarrow\) O que o \(I_i\) de Moran pode mostrar ?

  • Alto-Alto (High-High | HH):

    • Valor alto cercado por vizinhos altos.
    • Hot spot (contágio/transbordamento).

  • Baixo-Baixo (Low-Low | LL)

    • Valor baixo cercado por vizinhos baixos.
    • Cold spot (depressão ou barreira geográfica).

  • Alto-Baixo (High-Low | HL):

    • “Ilha de riqueza”. Valor alto cercado por vizinhos baixos.
    • Indica processos locais distintos do entorno.

  • Baixo-Alto (Low-High | LH):

    • “Buraco”. Valor baixo cercado por vizinhos altos.
    • Pode indicar falha de medição ou resiliência local.
(a) LISA
(b) Diagrama de Dispersão
Figura 5: Clusters Espaciais LISA (Local Moran) para Minas Gerais

Estatísticas Getis-Ord (\(G_i^*\))

  • Foca na detecção de intensidade (valores altos ou baixos), sem a componente de covariância negativa do Moran.

\[G_i^* = \frac{\sum_{j=1}^n w_{ij} y_j}{\sum_{j=1}^n y_j}\]

  • \(G_i\): Exclui a unidade \(i\).

  • \(G_i^*\): Inclui a unidade \(i\) (mais comum).

Diferença: Moran local distingue clusters de outliers. Getis-Ord identifica apenas Hot Spots e Cold Spots.

A estatística retorna um valor Z padronizado:

  • \(Z(G_i^*) > 1.96\): Hot Spot (Agrupamento significativo de valores altos).

  • \(Z(G_i^*) < -1.96\): Cold Spot (Agrupamento significativo de valores baixos).

  • Entre: Aleatoriedade espacial.

Riscos e suavização de taxas

O Problema das Áreas Pequenas

\(\Longrightarrow\) O desafio dos dados brutos

Para dados de contagem \(O_i\) com população em risco \(P_i\), a taxa bruta é \(r_i = O_i / P_i\).

Em epidemiologia, usa-se a Razão de Mortalidade Padronizada (SMR):

\[ \text{SMR}_i = \frac{O_i}{E_i} \quad \text{onde} \quad E_i = P_i \cdot \bar{r} \]

  • Em áreas com \(P_i\) pequena, a variância é altíssima (Cressie; Chan, 1989).

  • Um único caso adicional em uma cidade pequena pode duplicar a taxa, criando outliers espúrios.

  • O mapa é dominado por áreas despovoadas com taxas extremas (mas pouco confiáveis).

(a) Taxa bruta instável
(b) Taxa Suavizada (Empirical Bayes Local
Figura 6: Suavização

Diagnóstico de Dependência Espacial

ESDA em Resíduos de Regressão

\(\Longrightarrow\) Por que analisar os resíduos?

  • Detectar autocorrelação em \(\mathbf{y}\) (dados brutos) não prova um processo espacial intrínseco (contágio). Pode ser apenas heterogeneidade não observada ou variáveis omitidas espacialmente estruturadas (Cressie; Chan, 1989).

Roteiro de Diagnóstico (Anselin (2001))

  1. Estimar o modelo clássico (Mínimos Quadrados Ordinários).

\[\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}, \quad \boldsymbol{\varepsilon} \sim N(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I})\] 2. Calcular os resíduos \(\hat{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}\).

  1. Aplicar o \(I\) de Moran sobre \(\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}\) usando a matriz \(\mathbf{W}\).

Nota: Se \(I(\hat{\boldsymbol{\varepsilon}})\) for significativo, o pressuposto de independência é violado. Porém, a escolha incorreta de \(\mathbf{W}\) pode levar a diagnósticos falsos (Zhang; Yu, 2018).


    Global Moran I for regression residuals

data:  
model: lm(formula = taxa_bruta ~ variavel_x, data = mg_dados)
weights: lw

Moran I statistic standard deviate = 9.3389, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two.sided
sample estimates:
Observed Moran I      Expectation         Variance 
    0.1977385849    -0.0011812437     0.0004536919
(a) Mapa dos Resíduos
(b) Diagrama de Moran dos Resíduos
Figura 7: Diagnóstico de resíduos

Modelos mais comuns em dados de área: CAR, ICAR, e BYM

Modelagem de dependência em área

Segundo Cressie (1993), existem duas formas canônicas de especificar a dependência espacial em reticulados (lattice data):

  1. Especificação Condicional (CAR):

    • Modela a distribuição de uma área dado os seus vizinhos.

  2. Especificação Simultânea (SAR)

    • Modela o sistema de equações de feedback simultâneo entre todas as áreas.

Modelo Condicional Autorregressivo (CAR)

\(\Longrightarrow\) “Diga-me quem são teus vizinhos, e eu te direi quem és.”

  • Introduzido por Besag (1974), o CAR define o valor de uma unidade \(Y_i\) não isoladamente, mas condicionado aos valores de todos os outros locais (\(\mathbf{Y}_{-i} = \{Y_j : j \neq i\}\)).

\(Y_i = \mu_i + \sum_{j \neq i} w_{ij}(Y_j - \mu_j) + \epsilon_i,\)

\(\mathbb{E} [Y_i \mid \mathbf{Y}_{-i}] = \mu_i + \sum_{j \neq i} w_{ij}(Y_j - \mu_j)\)

  • Se meus vizinhos estão acima da média, eu provavelmente também estarei.

Seja \(\mathbf{Y}_{-i} = \{Y_j : j \neq i\}\). O modelo é definido por uma família de distribuições condicionais Gaussianas:

\[ Y_i \mid \mathbf{Y}_{-i} \sim \mathcal{N}\left( \mu_i + \sum_{j \neq i} w_{ij}(Y_j - \mu_j),\, \sigma_i^2 \right) \]

  • \(\mu_i = \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta}\).

  • \(w_{ij} \in W\): Pesos espaciais (interação vizinha).

  • \(\sigma_i^2\): Variância condicional (incerteza local).

\(\Longrightarrow\) Teorema de Hammersley-Clifford

Para que as condicionais locais formem uma distribuição conjunta válida \(\mathbf{Y} \sim \mathcal{N}_n(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma})\), a matriz de precisão \(\mathbf{Q} = \mathbf{\Sigma}^{-1}\) deve ser simétrica e positiva definida.

\(\mathbf{Y} \sim \mathcal{N}_n(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{Q}_{CAR}^{-1}), \: \: \mathbf{Q}_{CAR} = \mathbf{M}^{-1} (\mathbf{I} - \rho \mathbf{W}), \: \: \mathbf{M} = \text{diag}(\sigma_1^2, \dots, \sigma_n^2)\)

  • \(\rho\): Parâmetro de dependência espacial.
  • \(\mathbf{I}\): Matriz identidade.

Para que a matriz \(\mathbf{Q}\) seja simétrica, os pesos e as variâncias devem satisfazer:

\(\frac{w_{ij}}{\sigma_i^2} = \frac{w_{ji}}{\sigma_j^2}\)

Lembrando

Se \(w_{ij} \neq 0\), então \(i \sim j\) (são vizinhos). Os elementos da diagonal da precisão são \(Q_{ii} = 1/\sigma_i^2\). Os elementos fora da diagonal são \(Q_{ij} = -\rho w_{ij}/\sigma_i^2\).

Modelo CAR Intrínseco (ICAR)

O ICAR é um caso particular do modelo CAR onde a dependência espacial é máxima.

  • Ocorre quando \(\rho \to 1\).

  • Matriz de Precisão (\(\mathbf{Q}\)): Torna-se singular (não invertível) e semidefinida positiva com posto \(n-1\).

  • Atua como uma prior espacial que penaliza diferenças locais, suavizando o mapa sem definir um nível médio absoluto (o intercepto flutua livremente).

  • Amplamente utilizado em estatística Bayesiana (INLA, WinBUGS) como efeito aleatório estruturado (Besag; York; Mollié, 1991).

Como \(\rho \approx 1\), a média condicional depende apenas da média simples dos vizinhos.

\(Y_i \mid \mathbf{Y}_{-i} \sim \mathcal{N}\left( \bar{Y}_{\partial i},\, \frac{\sigma^2}{m_i} \right)\)

\(\mathbb{E}[Y_i \mid \mathbf{Y}_{-i}] = \frac{1}{m_i}\sum_{j \in \partial i} Y_j\)

  • A melhor estimativa para \(Y_i\) é a média aritmética dos seus vizinhos.

\(\text{Var}[Y_i \mid \mathbf{Y}_{-i}] = \frac{\sigma^2}{m_i}\)

  • A incerteza é inversamente proporcional ao número de vizinhos (\(m_i\)). Áreas com poucos vizinhos têm maior variância.
  • A matriz de precisão é

\(\mathbf{Q} = \sigma^{-2}(\mathbf{D} - \mathbf{W})\).

  • Como \(\mathbf{Q}\mathbf{1} = \mathbf{0}\), a distribuição é imprópria (não integra a 1).

  • A densidade depende apenas das diferenças entre pares (pairwise difference prior):

\(p(\mathbf{Y}) \propto \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i \sim j} (Y_i - Y_j)^2 \right)\)

Para tornar o modelo identificável (obter uma distribuição própria), impõe-se uma restrição matemática:

\(\sum_{i=1}^n Y_i = 0 \quad (\text{Restrição de soma-zero})\)

  • Isso projeta os efeitos espaciais no subespaço ortogonal ao vetor constante \(\mathbf{1}\).

  • Garante unicidade e propriedades matemáticas bem definidas (Keefe; Ferreira; Franck, 2018).

  • O ICAR é frequentemente combinado com um efeito aleatório independente (ruído) para formar o modelo Besag-York-Mollié, separando o que é estrutura espacial do que é ruído puro.

Modelo SAR

Embore comum na estatística, vamos falar dele na seção de modelos econometricos.

Modelos BYM e BYM2

\(\Longrightarrow\) Por que não usar (I)CAR/SAR direto em \(Y\)?

  • Em epidemiologia e demografia, \(Y_i\) são contagens.

\(y_i \mid \theta_i \sim \text{Poisson}(E_i \theta_i)\)

  1. O risco \(\theta_i\) deve ser \(>0\). Modelos lineares clássicos podem prever valores negativos.

2.GLM: Modelamos o logaritmo do risco (função de ligação canônica).

\(\eta_i = \log(\theta_i) = \mu + \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta} + \varepsilon_i\)

  1. O termo \(\varepsilon_i\) captura a variabilidade residual latente, que pode ter estrutura espacial.

Diferente da modelagem direta da resposta, aqui modelamos o preditor linear.

\[ \begin{align} \text{Observado:} & \quad y_i \sim \text{Poisson}(E_i e^{\eta_i}) \\ \text{Latente:} & \quad \eta_i = \underbrace{\mu + \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta}}_{\text{Fixo}} + \underbrace{\varepsilon_i}_{\text{Aleatório}} \end{align} \]

A grande questão é: como estruturar \(\varepsilon_i\)?

Proposto por Besag; York; Mollié (1991), decompõe o erro em dois componentes aditivos:

\(\varepsilon_i = u_i + v_i\)

  1. Estrutural (\(u_i\)) - Espacial

  • Prior: ICAR.

  • Captura dependência local (suavização).

  • Distribuição condicional aos vizinhos.

  1. Não estrutural (\(v_i\)) - iid

  • Prior: \(N(0, \tau_v^{-1})\).

  • Captura heterogeneidade pura (ruído)

  • Independente entre áreas.

Apesar de clássico, o BYM tem falhas graves apontadas por Riebler et al. (2016):

  1. Identificabilidade: Apenas a soma \(\varepsilon = u+v\) é vista pelos dados. \(u\) e \(v\) competem pela explicação da variância.

  2. A variância do componente espacial depende da geometria do grafo.

Consequência: A mesma prior \(\tau_u\) tem significados diferentes em mapas diferentes (ex: SP vs. Amazonas).

Riebler et al. (2016) resolvem o problema do modelo BYM escalonando a matriz (\(\mathbf{Q}_*\)) para que a variância geométrica média seja 1 e reparametrizando: \(\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{\sqrt{\tau}} \left( \sqrt{1 - \phi}\,\mathbf{v} + \sqrt{\phi}\,\mathbf{u}_* \right)\)

  • \(\tau\) (Precisão Marginal): Controla a variância total do efeito latente.

  • \(\phi \in [0, 1]\) (Peso Espacial): Proporção da variância explicada pela estrutura espacial.

A grande vantagem do BYM2 é a interpretação direta de \(\phi\): \(\text{Var}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \underbrace{(1 - \phi)\sigma^2}_{\text{Ruído IID}} + \underbrace{\phi \sigma^2}_{\text{Espacial}}\)

  • \(\phi \to 1\): O fenômeno é puramente espacial (ICAR). O mapa é suave.

  • \(\phi \to 0\): O fenômeno é puramente ruído aleatório. O mapa é irregular.

  • \(\phi \approx 0.5\): Metade da variação vem dos vizinhos, metade é idiossincrasia local.

Modelos Econométricos Espaciais

Diferenças fundamentais

\(\Longrightarrow\) Qual o foco da análise?

  • Estatística Espacial (CAR/ICAR)

    • Suavização, predição e ajuste.

    • Condicional (\(Y_i \mid Y_{-i}\)).

  • Econometria Espacial

    • Foco: Causalidade, teste de hipóteses e impacto de políticas.

    • Mecanismo: Simultâneo (\(\mathbf{y} = (\mathbf{I} - \rho\mathbf{W})^{-1}\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}\)).

    • Base Teórica: Interação estratégica, contágio, externalidades (Anselin, 1988).

Elhorst et al. (2014) define três canais de dependência:

  1. Defasagem em Y (\(\mathbf{W}\mathbf{y}\)):

    • Endógena. O meu resultado depende do resultado do vizinho.

    • Ex: Competição fiscal, efeitos de pares, contágio de preços.

  2. Defasagem em X (\(\mathbf{W}\mathbf{X}\))

    • Exógena. O meu resultado depende das características do vizinho.

    • Ex: Criminalidade local afetada pelo policiamento vizinho (deslocamento).

  3. Defasagem no erro (\(\mathbf{W}\mathbf{u}\))

    • Residual. Choques não observados correlacionados.

    • Ex: Variáveis ambientais omitidas (poluição, clima) que afetam regiões vizinhas igualmente.

O Modelo Geral de Aninhamento Espacial (GNS - General Nesting Spatial Model) engloba todas as interações (Elhorst, 2022): \(\mathbf{y} = \rho \mathbf{W}\mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} +\mathbf{W}\mathbf{X}\boldsymbol{\theta} + \mathbf{u}, \: \:\mathbf{u} = \lambda \mathbf{W}\mathbf{u} + \boldsymbol{\epsilon}\)

Componentes Principais

  • \(\rho \mathbf{W}\mathbf{y}\): Efeito de feedback simultâneo.

  • \(\mathbf{W}\mathbf{X}\boldsymbol{\theta}\): Efeito de transbordamento local (spillover).

  • \(\lambda \mathbf{W}\mathbf{u}\): Correlação nos erros não observados.

Parâmetros

  • \(\rho\): Intensidade do contágio endógeno.

  • \(\boldsymbol{\beta}\): Efeito direto das covariáveis.

  • \(\boldsymbol{\theta}\): Efeito indireto (vizinhos).

  • \(\lambda\): Intensidade da correlação residual.

Nota: A escolha do modelo é teórica. Você acredita em contágio real (\(\rho\)) ou apenas em variáveis omitidas (\(\lambda\))?

A família de modelos GNS

\(\Longrightarrow\) Modelo de Defasagem Espacial (Spatial Autoregressive Model: \(\rho \neq 0, \lambda = 0, \theta = 0\)

\[ Y_i = \rho \sum_{j=1}^n w_{ij} Y_j + \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta} + \epsilon_i, \quad \epsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \]

Interpretação dos coeficientes

  • Efeito direto: Impacto da mudança em \(x_{ik}\) sobre \(y_i\).

  • Efeito indireto (Spillover): Impacto da mudança em \(x_{ik}\) sobre todos os outros \(y_j\).

Estimação

  • Máxima Verossimilhança (ML) ou Variáveis Instrumentais (GMM/IV) usando defasagens de X (\(\mathbf{WX}\)) como instrumentos.

\(\Longrightarrow\) Modelo de erro espacial (Spatial Error Model: \(\lambda \neq 0, \rho = 0, \theta = 0\))

\[ y_i = \sum_{k=1}^K x_{ik}\beta_k + u_i, \qquad u_i = \lambda \sum_{j=1}^N w_{ij} u_j + \epsilon_i, \qquad \epsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2). \]

Interpretação dos coeficientes

  • \(\beta_k\) são os efeitos marginais diretos (Derivadas Parciais).

  • Uma variação em \(x_{ik}\) afeta apenas \(y_i\) (sem feedback ou spillovers na média).

Estimação

  • Máxima Verossimilhança (ML) ou GMM para incorporar a estrutura não esférica da covariância (\(\boldsymbol{\Omega}\)).

\(\Longrightarrow\) Modelo de defasagem espacial de X (Spatial Lag of X: \(\rho = 0, \lambda = 0, \boldsymbol{\theta} \neq \mathbf{0}\))

\[ y_i = \alpha + \sum_{k=1}^K x_{ik}\beta_k + \sum_{k=1}^K \theta_k \left( \sum_{j=1}^n w_{ij} x_{jk} \right) + \epsilon_i \]

Interpretação dos coeficientes

  • Efeito direto (\(\beta_k\)): Mudança em \(x_{ik}\) afeta \(y_i\).

  • Efeito indireto (\(\theta_k\)): Spillover local. Mudança em \(x_{jk}\) afeta \(y_i\).

Estimação e Vantagens

  • Mínimos quadrados (OLS): Como \(\mathbf{W}\mathbf{X}\) é exógena, estimadores OLS são não viesados, consistentes e eficientes (Halleck Vega; Elhorst, 2015).

\(\Longrightarrow\) Modelo Espacial de Durbin (Spatial Durbin Model: \(\lambda = 0, \rho \neq 0, \boldsymbol{\theta} \neq \mathbf{0}\))

\[ y_i = \rho \sum_{j=1}^n w_{ij} y_j + \sum_{k=1}^K x_{ik}\beta_k + \sum_{k=1}^K \theta_k \left( \sum_{j=1}^n w_{ij} x_{jk} \right) + \epsilon_i \]

Decomposição de impactos

  • Efeito direto: Impacto de \(x_{ik}\) em \(y_i\) (com feedback).

  • Efeito indireto: Impacto de \(x_{ik}\) em todos os outros \(y_j\).

Estimação

  • Requer Máxima Verossimilhança (ML) ou MCMC (Bayesiano) devido ao termo endógeno \(\mathbf{W}\mathbf{y}\).

\(\Longrightarrow\) Modelo Espacial de Durbin com Erro (Spatial Durbin Error Model: \(\rho = 0, \lambda \neq 0, \boldsymbol{\theta} \neq \mathbf{0}\))

\[ y_i = \sum_{k=1}^K x_{ik}\beta_k + \sum_{k=1}^K \theta_k \left( \sum_{j=1}^n w_{ij} x_{jk} \right) + u_i, \quad u_i = \lambda \sum_{j=1}^n w_{ij} u_j + \epsilon_i. \]

Interpretação dos coeficientes

  • Efeito direto (\(\beta_k\)): Impacto de \(x_{ik}\) em \(y_i\). Idêntico à regressão clássica.

  • Efeito indireto (\(\theta_k\)): Impacto de \(x_{jk}\) em \(y_i\). Se \(w_{ij}=0\), o efeito é nulo.

Estimação

  • Requer Máxima Verossimilhança (ML) ou GMM para tratar a estrutura de covariância não esférica dos erros.

\(\Longrightarrow\) Modelo Autorregressivo Espacial com Erros Autorregressivos (Spatial Combined: \(\rho \neq 0, \lambda \neq 0, \boldsymbol{\theta} = \mathbf{0}\))

\[ y_i = \rho \sum_{j=1}^n w_{1,ij} y_j + \sum_{k=1}^K x_{ik}\beta_k + u_i, \quad u_i = \lambda \sum_{j=1}^n w_{2,ij} u_j + \epsilon_i. \]

Interpretação dos coeficientes

  • Segue a lógica do SAR: \(\mathbb{E}[\mathbf{y}] = (\mathbf{I}_n - \rho \mathbf{W}_1)^{-1}\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}\).

  • Requer decomposição em efeitos diretos, indiretos e totais.

Estimação

  • GMM (GS2SLS) ver aula

\(\Longrightarrow\) Modelo de Média Móvel Espacial (Spatial Moving Average)

\[ y_i = \sum_{k=1}^K x_{ik}\beta_k + \epsilon_i + \lambda \sum_{j=1}^n w_{ij} \epsilon_j, \quad \epsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \]

Interpretação da Covariância

A estrutura de covariância é finita: \(\boldsymbol{\Omega} = \sigma^2 (\mathbf{I}_n + \lambda \mathbf{W})(\mathbf{I}_n + \lambda \mathbf{W})^{\top}\).

  • A correlação é nula para unidades que não sejam vizinhas diretas nem compartilhem um vizinho comum.

  • Decaimento abrupto da correlação espacial (ao contrário do SEM).

Estimação

  • Máxima Verossimilhança.

Modelos para respostas limitadas e discretas

\(\Longrightarrow\) Variável dependente binária (\(y_i \in \{0, 1\}\)) com dependência espacial.

  • O modelo assume uma variável latente contínua \(y_i^*\) que segue um processo espacial autoregressivo:

\[ y_i^* = \rho \sum_{j=1}^n w_{ij} y_j^* + \mathbf{x}_i^{\top}\boldsymbol{\beta} + \epsilon_i, \: \epsilon_i \sim \mathcal{N}(0, 1) \Rightarrow y_i = \begin{cases} 1, & \text{se } y_i^* > 0 \\ 0, & \text{se } y_i^* \le 0 \end{cases} \]

  1. Bayesiana (MCMC): Trata \(y^*\) como parâmetro latente e amostra sequencialmente de uma normal truncada (LeSage, 2000).

  2. GMM

Interpretação

  1. Uma mudança em \(x_{ik}\) altera a probabilidade \(P(y_i=1)\). Essa alteração afeta os vizinhos via \(\rho\). O efeito retorna a \(i\) (feedback).

Use os efeitos médios diretos, indiretos e totais calculados via simulação ou MCMC (LeSage; Pace, 2009).

\(\Longrightarrow\) Variável dependente categórica ordenada (ex: Nível de satisfação: Baixo < Médio < Alto).

\[ y_i = j \quad \iff \quad \gamma_j < y_i^* \le \gamma_{j+1}, \: y_i \in \{0, \dots, J\}\\ \Downarrow\\ \mathbf{y}^* = \rho \mathbf{W}\mathbf{y}^* + \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}, \quad \boldsymbol{\epsilon} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I}_n) \]

  • Estimação Bayesiana (MCMC)

Deve-se reportar para CADA categoria \(j\):

  • Efeito direto: Impacto médio na própria unidade.

  • Efeito indireto: Impacto médio nos vizinhos.

  • Efeito total: Soma dos dois.

\(\Longrightarrow\) Variável contínua censurada (ex: muitos zeros e cauda contínua).

  • O modelo assume uma variável latente contínua \(y_i^*\) que segue um processo espacial autoregressivo (SAR Tobit):

\[ y_i^* = \rho \sum_{j=1}^n w_{ij} y_j^* + \mathbf{x}_i^{\top}\boldsymbol{\beta} + \epsilon_i, \quad \epsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\\ \Downarrow\\ y_i = \max(0, y_i^*) \]

  1. Bayesiana (MCMC)

  2. EM (Expectation-Maximization): Imputa valores esperados para os dados censurados e maximiza a verossimilhança (McMillen, 1992).

Interpretação

  • Efeito direto: Impacto de \(x_{ik}\) em \(y_i\) (considerando a probabilidade de \(y_i > 0\)).

  • Efeito indireto: Spillover espacial.

Interpreto os coeficientes ou os impactos?

\(\Longrightarrow\) A chave é o parâmetro de defasagem espacial em \(Y\) (\(\rho\)).

  • A interpretação depende se existe um multiplicador espacial que gera ciclos de feedback (\(i \to j \to i\)).

  1. Sem feedback global (\(\rho = 0\)):

    • \(\frac{\partial y_i}{\partial x_{ik}} = \beta_k\). O que acontece no vizinho fica no vizinho.

    • Ação: Interprete os \(\beta\) e \(\theta\) diretamente da tabela (summary()).

  2. Com Feedback Global (\(\rho \neq 0\)):

    • \(\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}_k} = (\mathbf{I} - \rho \mathbf{W})^{-1} \beta_k\). O \(\beta\) estimado é apenas o impulso inicial, não o resultado final.

    • Ação: Ignore o summary(). Calcule os Efeitos diretos, indiretos e totais (função impacts()).

Critério Modelos Locais
(OLS, SEM, SLX, SDEM)		 Modelos Globais
(SAR, SDM, SAC)
Parâmetro \(\rho\) \(\rho = 0\) (Ausente) \(\rho \neq 0\) (Presente)
Mecanismo Transmissão direta Multiplicador \((\mathbf{I} - \rho \mathbf{W})^{-1}\)
Feedback Finito (\(i \to j\)) Infinito (\(i \leftrightarrow j \leftrightarrow \dots\))
Interpretação Direto do summary() Obrigatório impacts()
Coeficiente \(\beta\) É o Efeito Direto Impulso inicial (Pré-feedback)
Coeficiente \(\theta\) É o Spillover Compõe o cálculo total
No R coef(modelo) impacts(modelo)

Modelos locais e não estacionários

\(\Longrightarrow\) A falácia da média espacial.

Modelos globais (OLS, SAR, SEM) assumem estacionariedade espacial: a relação entre \(Y\) e \(X\) é constante em todo o mapa (\(\boldsymbol{\beta}\) fixo).

  • Exemplo: Um modelo global assume que o preço por \(m^2\) da área construída é o mesmo na periferia e em bairros nobres.

  • Realidade: Existe um valor intrínseco de localização:

    • Bairros nobres: \(\beta_{area}\) alto.

    • Periferia: \(\beta_{area}\) baixo.

Modelos globais aplicados a processos heterogêneos produzem estimativas médias enganosas, mascarando variações locais. (Lu et al., 2014)

\(\Longrightarrow\) Decomposição de parâmetros.

Modelos locais (GWR, MGWR) permitem que os parâmetros flutuem no espaço \((u_i, v_i)\).

\[ y_i = \beta_0(u_i, v_i) + \sum_{k=1}^{p} \beta_k(u_i, v_i) x_{ik} + \epsilon_i \]

  • O objetivo é estimar um vetor \(\boldsymbol{\beta}_i\) para cada localização \(i\), revelando a estrutura espacial oculta nas relações entre variáveis.

GWR

\(\Longrightarrow\) Regressão Geograficamente Ponderada

  • Em vez de minimizar os quadrados globais, minimizamos os erros ponderados pela proximidade a \(i\):

\[ y_i = \beta_0(u_i, v_i) + \sum_{k=1}^{p} \beta_k(u_i, v_i) x_{ik} + \epsilon_i\: \Longrightarrow \hat{\boldsymbol{\beta}}(u_i, v_i) = \left( \mathbf{X}^\top \mathbf{W}(i) \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^\top \mathbf{W}(i) \mathbf{y} \]

\[ \mathbf{W}(i) = \text{diag}\left(w_{i1}, w_{i2}, \dots, w_{in}\right) = \begin{bmatrix} w_{i1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & w_{i2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & w_{in} \end{bmatrix}_{n \times n}, \]

  • \(w_{ij}\): Peso da observação \(j\) na calibração do ponto \(i\). Decai com a distância \(d_{ij}\).

  • A forma como \(w_{ij}\) decai é crucial.

    • Fixo: \(b\) constante (raio fixo). Ruim para dados com densidade variável.

    • Adaptativo: \(b\) definido por \(N\) vizinhos mais próximos. Ajusta-se à densidade dos dados (Guo; Ma; Zhang, 2008).

  • Trade-off:

    • \(b\) pequeno \(\to\) Alta variância (overfitting).

    • \(b\) grande \(\to\) Alto viés (tende ao OLS global).

Seleção de \(b\) (AICc)

Busca-se o \(b\) que minimiza o AIC corrigido. O

MGWR

A Limitação da GWR: Assume um único \(b\) para todas as covariáveis. Força o modelo a assumir que o “Clima” (global) varia na mesma escala que a “Renda” (local).

A Solução MGWR: Permite uma largura de banda \(bw_j\) específica para cada covariável \(j\).

\[ y_i = \beta_0(u_i, v_i; bw_0) + \sum_{j=1}^{p} \beta_j(u_i, v_i; bw_j) \, x_{ij} + \epsilon_i \]

  • Não existe solução analítica direta (como no WLS da GWR).

  • Usa-se um processo iterativo inspirado em GAMs (Modelos Aditivos Generalizados) (Yu et al., 2020).

  1. Começa com estimativas OLS ou GWR padrão.

  2. Para cada variável \(j\):

    • Calcula o resíduo parcial (\(\mathbf{r}_j\)): Remove o efeito estimado de todas as outras variáveis.

    • Ajusta uma GWR univariada de \(\mathbf{r}_j\) contra \(\mathbf{x}_j\).

    • Encontra o \(bw_j\) ótimo (via AICc) para esta variável específica.

  3. Repete até que os coeficientes estabilizem.

  • \(bw_j\) Pequeno (Local): Processo altamente heterogêneo.

  • \(bw_j\) Grande (Global): Processo estacionário.

A MGWR produz modelos mais parcimoniosos (menor AICc) e reduz problemas de multicolinearidade local ao não forçar variáveis globais a variarem localmente (Oshan; Smith; Fotheringham, 2020).

Próximos Passos

Na Aula 06, veremos a parte prática deste conteúdo. Por favor, leia todo o Capítulo 4, com foco na aplicação e pacotes.


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